我们在很多地方都会遇到同一个问题。推荐系统里要判断两个商品像不像，聚类里要看两个样本离多远，向量检索里要从百万条候选里挑出最接近的几条。说到底，都是要把两个向量的相似程度量化成一个数。这个数怎么算？方法有一大族，各自看重的东西不一样，选错了结论可能完全反过来。

接下来，我们把七种常见的度量一次过一遍，它们是：曼哈顿、欧几里得、切比雪夫、闵可夫斯基、标准化欧氏、余弦、点积。每一种我们都会先给定义、讲直观意思，再拿具体向量代进去算出一个数，最后放一张对照表帮你按场景挑。读这篇之前，你需要知道向量是什么，以及点积和模长怎么算。

1. 曼哈顿距离

我们先从最好懂的一种说起。曼哈顿距离就是两个向量在每一维上的差取绝对值，再全部加起来，公式写成 d = 各维 |xi – yi| 之和。它的名字来自城市里开车，你只能沿横纵街道走，从这头到那头要拐几个直角、走多少个街区，而不能斜着穿楼过去。

我们代一组具体数进去。取 x = (3, 5)，y = (4, 9)，第一维差 |3-4| = 1，第二维差 |5-9| = 4，加起来距离就是 5。写成代码就是：

def manhattan_distance(x, y):

    distance = 0.0

    for v1, v2 in zip(x, y):
        distance += abs(v1 - v2)

    return distance


if __name__ == '__main__':

    x = [3, 5]
    y = [4, 9]
    print('distance:', manhattan_distance(x, y))

跑出来是 5，和手算的一致。它对每一维一视同仁地累加，缺点是受量纲影响大，数字大的那一维在求和里天然占大头。

2. 欧氏距离

曼哈顿走的是街区折线，而两点之间的直线距离就是欧氏距离，也叫欧几里得度量。在二维三维空间里，它就是中学几何里两点连线的长度，公式写成 d = 各维 (xi – yi) 平方之和再开根号。

我们还用刚才那对向量 x = (3, 5)，y = (4, 9)。差的平方是 (3-4)² = 1 和 (5-9)² = 16，加起来 17，开根号约等于 4.1231。它比曼哈顿的 5 小，正好符合直线比折线短的直觉。代码如下：

import math


def euclidean_distance(x, y):

    distance = 0.0

    for v1, v2 in zip(x, y):
        distance += math.pow(v1 - v2, 2)

    return math.sqrt(distance)


if __name__ == '__main__':

    x = [3, 5]
    y = [4, 9]
    print('distance:', euclidean_distance(x, y))

因为差值先平方再求和，大的那一项会被进一步放大，所以欧氏距离对离群维度比曼哈顿更敏感。它也是日常用得最多的一种距离。

3. 切比雪夫距离

前两种都把各维的差合起来算，切比雪夫距离换了个思路，它只盯着最大的那一维。两个向量各维差的绝对值是一串数，切比雪夫距离就取里面最大的那个。

这个名字来自国际象棋。王一步可以横走、竖走、斜走一格，从一个格子走到另一个格子最少要几步，那就是切比雪夫距离。因为只要把最长那一段走完，短的几段在斜走里顺带就覆盖了。我们代 x = (3, 5, 9)，y = (4, 9, 1)，三个差的绝对值是 1、4、8，取最大的 8：

import math


def chebyshev_distance(x, y):

    max_distance = 0.0

    for v1, v2 in zip(x, y):
        if abs(v1 - v2) > max_distance:
            max_distance = abs(v1 - v2)

    return max_distance


if __name__ == '__main__':

    x = [3, 5, 9]
    y = [4, 9, 1]
    print('distance:', chebyshev_distance(x, y))

4. 闵氏距离

讲到这里你可能发现了，上面三种其实是同一个公式的三个特例。把它们统一起来的就是闵可夫斯基距离，简称闵氏距离。公式写成 d = 各维 |xi – yi| 的 p 次方之和，再开 p 次方，里面的 p 是一个可调的常数。

p 取不同值，就退化成前面讲过的某一种。p = 1 时，开一次方就是把绝对值差直接相加，正好是曼哈顿距离。p = 2 时，平方和开根号，就是欧氏距离。p 趋向无穷大时，高次幂会让最大那一项在求和里占绝对主导，结果就收敛到切比雪夫距离。我们拿一对新向量 x = (1, 2)，y = (4, 6) 试 p = 3，差是 3 和 4，(3³ + 4³) 开三次方等于 91 开三次方，约等于 4.50。可以看到，p 越大，距离越偏向最大那一维的差。

5. 标准化欧氏

普通欧氏距离有个毛病，它对各维一视同仁，可现实里各维的量纲往往差得很远。举个例子，身高用米记录，数值在 1 到 2 之间，体重用公斤记录，动辄五六十，欧氏距离算出来几乎被体重那一维的差异主导，身高那点差别直接被淹没了。

标准化欧氏距离就是针对这个缺点的改进。它先把每一维除以这一维在整个数据集上的标准差 σi，让各维的方差拉到同一个量级，再算欧氏距离，公式写成 d = 各维 ((xi – yi) 除以 σi) 的平方和再开根号。这样量纲大的维度不会因为数字大就占便宜，量纲小的维度也不会被埋没。这里我们直接用文字公式说明，思路和配图是一致的。

6. 余弦相似度

前面几种都是距离，越小代表越近、越像。余弦相似度换了个角度，它不管向量有多长，只看两个向量的方向一不一致。公式写成两个向量的点积除以两个模长的乘积，即：cos = (x·y) 除以 (|x|·|y|)，取值范围在 -1 到 1 之间。越接近 1，夹角越小、方向越一致，越接近 -1，方向相反，等于 0 就是互相垂直，扯不上关系。

import numpy as np


def cosine_similarity(x, y):

    x = np.array(x)
    y = np.array(y)

    a = x @ y
    b = np.sqrt(x @ x) * np.sqrt(y @ y)

    return a / b


if __name__ == '__main__':

    x = [0, 1]
    y = [0, 2]
    print('distance:', cosine_similarity(x, y))

    x = [0, 1]
    y = [0, 5]
    print('distance:', cosine_similarity(x, y))

    x = [0, 1]
    y = [0, -1]
    print('distance:', cosine_similarity(x, y))

    x = [0, 1]
    y = [0, -5]
    print('distance:', cosine_similarity(x, y)) 

输出结果：

distance: 1.0
distance: 1.0
distance: -1.0
distance: -1.0

这四组例子里 x 都是 [0, 1]，y 只是在第二个坐标上取 2、5、-1、-5。前两组方向完全一致，不管 y 拉长到 2 还是 5，余弦都是 1。后两组方向反过来，都是 -1。这就验证了，余弦只和两个向量的夹角有关，和各自模长多大没关系。做文本相似度时我们常选它，长文档和短文档只要用词方向一致就算相似，不会因为文档长、点积大就被误判成更像。

7. 点积相似度

余弦在分母上把模长除掉了，点积则把模长保留下来。点积公式写成 x·y = |x|·|y|·cosθ，它既看夹角，又乘上两个向量各自的长度。两个向量方向越一致、本身越长，点积就越大。

我们拿统一的例子 x = (1, 2)，y = (4, 6) 算一遍，点积是 1×4 + 2×6 = 16。换一个和 y 同向但长一倍的向量 (8, 12)，点积会翻倍到 32，可夹角其实一点没变。这就是点积的特点，它把长度也算进了相似度里。好处是算起来比余弦省事，少两次开方和一次除法，向量检索里常拿它先粗排一遍，再交给精排模型细排。要注意的坑也在这里，向量没归一化时，长向量天然点积偏大，可能并不是它真的更像。

8. 对照与选择

七种方法摆在一起，我们挑一张表对照最清楚。用同一对向量 x = (1, 2)，y = (4, 6) 把各种度量都算出来，横向一比，差别就显出来了：

度量	看重什么	取值方向	本例数值
曼哈顿	各维绝对差之和	越小越近	7
欧氏	两点直线距离	越小越近	5
切比雪夫	最大那一维的差	越小越近	4
闵氏 p = 3	大差值权重更高	越小越近	4.50
余弦	夹角方向，不管长度	越接近 1 越像	0.9923
点积	方向和长度一起算	越大越像	16

那怎么选呢？我们先问自己在不在乎向量长度。只关心方向，比如文本、标签的相似度，用余弦。要算真实坐标点之间的距离，用欧氏。各维量纲不齐、数字大小差很多，先做标准化再算欧氏。向量已经归一化过、又追求速度，点积和余弦结果一致，用点积更省一次除法。

我们回到开头的问题。衡量两个向量像不像，本质上是在量两件事，方向和长度。距离类的曼哈顿、欧氏、切比雪夫、闵氏、标准化欧氏，关心两个点隔多远，越小越像，其中闵氏用一个可调的 p 把前三种串在一条线上。相似度类的余弦和点积，关心方向是否一致，余弦剔除长度只看夹角，点积把长度一起算进去。按你在不在乎长度和量纲去挑，基本就不会选错了。