在很多领域需要进行向量相似度的计算。本篇文章主要介绍一些常见的方法：

1. 曼哈顿距离
2. 欧几里得距离
3. 切比雪夫距离
4. 闵可夫斯基距离
5. 标准欧式距离
6. 余弦相似度
7. 点积相似度

1. 曼哈顿距离

曼哈顿距离指的是两个向量在各个维度上的距离相加。

1. x、y 表示待计算的两个向量
2. N 表示向量的维度

def manhattan_distance(x, y):

    distance = 0.0

    for v1, v2 in zip(x, y):
        distance += abs(v1 - v2)

    return distance


if __name__ == '__main__':

    x = [3, 5]
    y = [4, 9]
    print('distance:', manhattan_distance(x, y))

2. 欧几里得距离

欧几里得度量（欧氏距离）是经常使用的距离方法，在二维和三维空间中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。

1. x、y 表示待计算的两个向量
2. N 表示向量的维度

import math


def euclidean_distance(x, y):

    distance = 0.0

    for v1, v2 in zip(x, y):
        distance += math.pow(v1 - v2, 2)

    return math.sqrt(distance)


if __name__ == '__main__':

    x = [3, 5]
    y = [4, 9]
    print('distance:', euclidean_distance(x, y))

3. 切比雪夫距离

切比雪夫距离是两个向量的各维度数值差绝对值的最大值。

import math


def chebyshev_distance(x, y):

    max_distance = 0.0

    for v1, v2 in zip(x, y):
        if abs(v1 - v2) > max_distance:
            max_distance = abs(v1 - v2)

    return max_distance


if __name__ == '__main__':

    x = [3, 5, 9]
    y = [4, 9, 1]
    print('distance:', chebyshev_distance(x, y))

4. 闵可夫斯基距离

闵式距离其公式如下：

其中 p 是一个常数：
当 p = 1, 该公式为曼哈顿距离计算公式
当 p = 2, 该公式为欧式距离计算公式
当 p = ∞， 该公式为切比雪夫距离

5. 标准化欧氏距离

标准化欧氏距离是针对欧氏距离的缺点而作的一种改进，它将各个分量都标准化到均值、方差相等。

1. σ 表示各个维度的标准差
2. N 表示维度的个数

6. 余弦相似度

1. ||x||、||y|| 表示向量的模
2. x·y 表示两个向量的点乘
3. 余弦相似度取值范围为 [-1,1]，值越大说明两个向量的夹角越小，两个向量越相似

import numpy as np


def cosine_similarity(x, y):

    x = np.array(x)
    y = np.array(y)

    a = x @ y
    b = np.sqrt(x @ x) * np.sqrt(y @ y)

    return a / b


if __name__ == '__main__':

    x = [0, 1]
    y = [0, 2]
    print('distance:', cosine_similarity(x, y))

    x = [0, 1]
    y = [0, 5]
    print('distance:', cosine_similarity(x, y))

    x = [0, 1]
    y = [0, -1]
    print('distance:', cosine_similarity(x, y))

    x = [0, 1]
    y = [0, -5]
    print('distance:', cosine_similarity(x, y)) 

输出结果：

distance: 1.0
distance: 1.0
distance: -1.0
distance: -1.0

通过程序发现，余弦相似度只和两个向量的夹角有关，和两个向量的模大小无关。

7. 点积相似度

1. ||x|| 表示向量的模
2. θ 表示两个向量的夹角
3. 点积相似度公式中，向量夹角和模的长度都会影响到相似程度
4. 相对于余弦相似度，点积相似度需要更少的计算量
5. 点积值越大，则说明两个向量越相似
6. 关于点积的有一种直接理解为: 点积考虑了两个向量的夹角、和一个向量在另外一个向量的投影