传统的梯度下降优化算法中，可能会碰到以下情况：

1. 碰到平缓区域，梯度值较小，参数优化变慢
2. 碰到 “鞍点” ，梯度为 0，参数无法优化
3. 碰到局部最小值

对于这些问题, 出现了一些对梯度下降算法的优化方法，例如：Momentum、AdaGrad、RMSprop、Adam 等.

1. 指数加权平均

我们最常见的算数平均指的是将所有数加起来除以数的个数，每个数的权重是相同的。加权平均指的是给每个数赋予不同的权重求得平均数。移动平均数，指的是计算最近邻的 N 个数来获得平均数。

指数移动加权平均则是参考各数值，并且各数值的权重都不同，距离越远的数字对平均数计算的贡献就越小（权重较小），距离越近则对平均数的计算贡献就越大（权重越大）。

比如：明天气温怎么样，和昨天气温有很大关系，而和一个月前的气温关系就小一些。

计算公式可以用下面的式子来表示：

1. S_t 表示指数加权平均值;
2. Y_t 表示 t 时刻的值;
3. β 调节权重系数，该值越大平均数越平缓。

我们接下来通过一段代码来看下结果，我们随机产生进 30 天的气温数据：

import torch
import matplotlib.pyplot as plt


ELEMENT_NUMBER = 30


# 1. 实际平均温度
def test01():

    # 固定随机数种子
    torch.manual_seed(0)

    # 产生30天的随机温度
    temperature = torch.randn(size=[ELEMENT_NUMBER,]) * 10
    print(temperature)

    # 绘制平均温度
    days = torch.arange(1, ELEMENT_NUMBER + 1, 1)
    plt.plot(days, temperature, color='r')
    plt.scatter(days, temperature)
    plt.show()


# 2. 指数加权平均温度
def test02(beta=0.9):

    # 固定随机数种子
    torch.manual_seed(0)

    # 产生30天的随机温度
    temperature = torch.randn(size=[ELEMENT_NUMBER,]) * 10
    print(temperature)

    exp_weight_avg = []
    for idx, temp in enumerate(temperature, 1):

        # 第一个元素的的 EWA 值等于自身
        if idx == 1:
            exp_weight_avg.append(temp)
            continue

        # 第二个元素的 EWA 值等于上一个 EWA 乘以 β + 当前气氛乘以 (1-β)
        new_temp = exp_weight_avg[idx - 2] * beta + (1 - beta) * temp
        exp_weight_avg.append(new_temp)


    days = torch.arange(1, ELEMENT_NUMBER + 1, 1)
    plt.plot(days, exp_weight_avg, color='r')
    plt.scatter(days, temperature)
    plt.show()


if __name__ == '__main__':

    test01()
    test02(0.5)
    test02(0.9)

程序运行结果如下：

从程序运行结果可以看到：

1. 指数加权平均绘制出的气氛变化曲线更加平缓;
2. β 的值越大，则绘制出的折线越加平缓;
3. β 值一般默认都是 0.9.

2. Momentum

当梯度下降碰到 “峡谷” 、”平缓”、”鞍点” 区域时, 参数更新速度变慢. Momentum 通过指数加权平均法，累计历史梯度值，进行参数更新，越近的梯度值对当前参数更新的重要性越大。

梯度计算公式：D_t = β * S_t-1 + (1- β) * D_t

• S_t-1 表示历史梯度移动加权平均值
• w_t 表示当前时刻的梯度值
• β 为权重系数

咱们举个例子，假设：权重 β 为 0.9，例如：

第一次梯度值：s1 = d1 = w1
第二次梯度值：s2 = 0.9 + s1 + d2 * 0.1
第三次梯度值：s3 = 0.9 * s2 + d3 * 0.1
第四次梯度值：s4 = 0.9 * s3 + d4 * 0.1

1. w 表示初始梯度
2. d 表示当前轮数计算出的梯度值
3. s 表示历史梯度值

梯度下降公式中梯度的计算，就不再是当前时刻 t 的梯度值，而是历史梯度值的指数移动加权平均值。公式修改为：

W_t+1 = W_t – α * D_t

那么，Monmentum 优化方法是如何一定程度上克服 “平缓”、”鞍点”、”峡谷” 的问题呢？

当处于鞍点位置时，由于当前的梯度为 0，参数无法更新。但是 Momentum 动量梯度下降算法已经在先前积累了一些梯度值，很有可能使得跨过鞍点。

由于 mini-batch 普通的梯度下降算法，每次选取少数的样本梯度确定前进方向，可能会出现震荡，使得训练时间变长。Momentum 使用移动加权平均，平滑了梯度的变化，使得前进方向更加平缓，有利于加快训练过程。一定程度上有利于降低 “峡谷” 问题的影响。

峡谷问题：就是会使得参数更新出现剧烈震荡.

Momentum 算法可以理解为是对梯度值的一种调整，我们知道梯度下降算法中还有一个很重要的学习率，Momentum 并没有学习率进行优化。

3. AdaGrad

AdaGrad 通过对不同的参数分量使用不同的学习率，AdaGrad 的学习率总体会逐渐减小，这是因为 AdaGrad 认为：在起初时，我们距离最优目标仍较远，可以使用较大的学习率，加快训练速度，随着迭代次数的增加，学习率逐渐下降。

其计算步骤如下：

1. 初始化学习率 α、初始化参数 θ、小常数 σ = 1e-6
2. 初始化梯度累积变量 s = 0
3. 从训练集中采样 m 个样本的小批量，计算梯度 g
4. 累积平方梯度 s = s + g ⊙ g，⊙ 表示各个分量相乘
5. 学习率 α 的计算公式如下：

6. 参数更新公式如下：

7. 重复 2-7 步骤.

AdaGrad 缺点是可能会使得学习率过早、过量的降低，导致模型训练后期学习率太小，较难找到最优解。

4. RMSProp

RMSProp 优化算法是对 AdaGrad 的优化. 最主要的不同是，其使用指数移动加权平均梯度替换历史梯度的平方和。其计算过程如下：

1. 初始化学习率 α、初始化参数 θ、小常数 σ = 1e-6
2. 初始化参数 θ
3. 初始化梯度累计变量 s
4. 从训练集中采样 m 个样本的小批量，计算梯度 g
5. 使用指数移动平均累积历史梯度，公式如下：

6. 学习率 α 的计算公式如下：

7. 参数更新公式如下：

RMSProp 与 AdaGrad 最大的区别是对梯度的累积方式不同，对于每个梯度分量仍然使用不同的学习率。

RMSProp 通过引入衰减系数 β，控制历史梯度对历史梯度信息获取的多少. 被证明在神经网络非凸条件下的优化更好，学习率衰减更加合理一些。

需要注意的是：AdaGrad 和 RMSProp 都是对于不同的参数分量使用不同的学习率，如果某个参数分量的梯度值较大，则对应的学习率就会较小，如果某个参数分量的梯度较小，则对应的学习率就会较大一些。

5. Adam

Momentum 使用指数加权平均计算当前的梯度值、AdaGrad、RMSProp 使用自适应的学习率，Adam 结合了 Momentum、RMSProp 的优点，使用：移动加权平均的梯度和移动加权平均的学习率。使得能够自适应学习率的同时，也能够使用 Momentum 的优点。