隐马尔科夫模型（Hidden Markov Model, HMM）是一种统计模型，用于描述系统从一个状态到另一个状态的随机过程，其中系统的状态是不可直接观察的（即隐状态），但可以通过一些可观察的现象（即观测）推测出这些状态的变化。HMM 广泛应用于许多领域，如语音识别、自然语言处理、金融分析等。

隐马尔科夫模型基于以下几个假设：

• 马尔科夫假设：当前的隐状态仅依赖于前一个隐状态，而与更早的隐状态无关。
• 观测独立性假设：在给定当前的隐状态下，观测是独立的。即，当前的观测仅依赖于当前的隐状态，而与之前的观测无关。

在HMM的应用中，有三个经典问题需要解决：估值问题、解码问题和学习问题。下面分别通过例子来说明这三个问题。

1. 估值问题

问题描述：给定一个观测序列，如何计算它在模型下的概率？即，给定观测序列，计算它出现的概率。

例子： 假设我们有一个天气预测模型，其中隐状态为“晴天”和“雨天”，观测为“湿”和“干”。

• 隐状态集合：晴天、雨天观测集合：湿、干
• 转移概率（晴天 → 晴天、晴天 → 雨天、雨天 → 晴天、雨天 → 雨天）
• 发射概率（晴天 → 湿、晴天 → 干、雨天 → 湿、雨天 → 干）

假设我们观测到的序列是 “湿、干、湿”，我们希望计算该观测序列在该 HMM 模型下的概率。

为了解决这个问题，我们可以使用前向算法（Forward Algorithm），该算法通过动态规划计算观测序列的概率，避免了暴力求解的计算量。

2. 解码问题

问题描述：给定一个观测序列，如何找出最可能的隐状态序列？即，给定观测序列，找出最可能的隐状态路径。

例子： 继续以上的天气预测模型，假设我们已经观测到序列“湿，干，湿”，我们需要找出最可能的隐状态序列（例如，最可能的天气变化序列）。

在这种情况下，可以使用维特比算法（Viterbi Algorithm）。该算法通过动态规划的方式在所有可能的隐状态序列中寻找概率最大的路径，得出最可能的隐状态序列。

假设通过维特比算法，我们得到的最可能的隐状态序列是“雨天，晴天，雨天”。

3. 学习问题

问题描述：给定一组观测序列，如何学习模型的参数（转移概率和发射概率）？即，如何从数据中估计出HMM的转移概率和发射概率。

例子： 假设我们没有已知的转移概率和发射概率，但我们已经有了一些观测数据和相应的隐状态序列。比如，我们知道观测序列为“湿，干，湿”，并且隐状态为“雨天，晴天，雨天”。我们的目标是根据这些观测和隐状态，估计出模型的转移概率和发射概率。

为了解决这个问题，我们可以使用Baum-Welch算法，这是一种EM（期望最大化）算法。通过迭代计算，Baum-Welch算法能根据给定的观测序列估计出转移概率和发射概率，从而提高模型的拟合度。